x² - x - 6 = 0 সমীকরণের মূলদ্বয় হবে -
ক) 3, 2
খ) 3, -2
গ) -3, 2
ঘ) -3, -2
বিস্তারিত ব্যাখ্যা:
সমীকরণটিকে মধ্যপদ বিশ্লেষণের (middle-term factorization) মাধ্যমে সমাধান করা যায়। x² - x - 6 = 0 => x² - 3x + 2x - 6 = 0 => x(x-3) + 2(x-3) = 0 => (x-3)(x+2) = 0। সুতরাং, হয় x-3=0 (x=3) অথবা x+2=0 (x=-2)। মূলদ্বয় হলো 3 এবং -2।
Related Questions
ক) 2y = 2x - 4
খ) 2y = 6x - 8
গ) 2y = 4x - 6
ঘ) 2y = 2x + 8
Note : এখানে প্রতিটি সমীকরণে বিন্দুগুলোর মান (x, y) বসিয়ে দেখতে হবে কোন সমীকরণটি উভয় বিন্দুর জন্য সিদ্ধ হয়। অপশন B তে, 2y = 6x - 8। (1, -1) বিন্দুর জন্য: 2(-1) = 6(1) - 8 => -2 = 6 - 8 => -2 = -2 (সিদ্ধ)। (3, 5) বিন্দুর জন্য: 2(5) = 6(3) - 8 => 10 = 18 - 8 => 10 = 10 (সিদ্ধ)। যেহেতু উভয় বিন্দুই সমীকরণটিকে সিদ্ধ করে, এটিই সঠিক উত্তর।
ক) 11
খ) 13
গ) 19
ঘ) 17
Note : ধারাবাহিক বিজোড় সংখ্যাগুলোর মধ্যে পার্থক্য ২। পঞ্চম সংখ্যাটি ১৫ হলে, চতুর্থ সংখ্যাটি হবে ১৫-২=১৩। তৃতীয় সংখ্যাটি হবে ১৩-২=১১। দ্বিতীয়টি হবে ১১-২=৯ এবং প্রথমটি হবে ৯-২=৭। ধারাটি হলো: ৭, ৯, ১১, ১৩, ১৫। সুতরাং তৃতীয় সংখ্যাটি ১১।
ক) 30
খ) 40
গ) 50
ঘ) 60
Note : রাশিটি হলো 16x² - xy + 25 = (4x)² - xy + (5)²। এটি (a-b)² = a² - 2ab + b² সূত্রের সাথে মিলে যায় যদি মধ্যপদটি -2ab এর সমান হয়। এখানে a=4x এবং b=5। সুতরাং, মধ্যপদটি হবে -2(4x)(5) = -40x। প্রশ্নের রাশিটির মধ্যপদ -xy এর সাথে তুলনা করলে পাই, -xy = -40x। সুতরাং, y=40।
ক) 57
খ) 75
গ) 39
ঘ) 93
Note : ধরি, সংখ্যাটির একক স্থানীয় অঙ্ক y এবং দশক স্থানীয় অঙ্ক x। সংখ্যাটি 10x+y। শর্তানুযায়ী, x+y=12। স্থান পরিবর্তন করা সংখ্যাটি 10y+x। দ্বিতীয় শর্তানুযায়ী, (10y+x) - (10x+y) = 54। বা, 9y-9x=54, বা, y-x=6। এখন x+y=12 এবং y-x=6 সমীকরণ দুটি যোগ করে পাই 2y=18, সুতরাং y=9। y-এর মান বসালে x=3। সংখ্যাটি হলো 10(3)+9 = 39।
ক) (2,3)
খ) (2,5)
গ) (1,2)
ঘ) (3,2)
Note : প্রথম সমীকরণকে ২ দিয়ে গুণ করে পাই 4x+2y=16। এবার এই সমীকরণের সাথে দ্বিতীয় সমীকরণ (3x-2y=5) যোগ করলে পাই, 7x=21, সুতরাং x=3। x-এর মান প্রথম সমীকরণে বসালে পাই, 2(3)+y=8 বা, 6+y=8, সুতরাং y=2। অতএব, (x,y) এর মান (3,2)।
ক) 23
খ) 14
গ) 41
ঘ) 50
Note : ধরি, সংখ্যাটির একক স্থানীয় অঙ্ক y এবং দশক স্থানীয় অঙ্ক x। তাহলে সংখ্যাটি হলো 10x+y। শর্তানুযায়ী, x+y=5। দ্বিতীয় শর্তানুযায়ী, (10x+y)+9 = 10y+x (স্থান পরিবর্তন করা সংখ্যা)। বা, 9x-9y = -9, বা, x-y = -1। এখন, x+y=5 এবং x-y=-1 সমীকরণ দুটি যোগ করে পাই 2x=4, সুতরাং x=2। x-এর মান বসালে পাই 2+y=5, সুতরাং y=3। সংখ্যাটি হলো 10(2)+3 = 23।
জব সলুশন
