একটি ঘনকের আকৃতির বস্তুর পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফল 2400 বর্গ সে.মি. হলে ঘনকটির কর্ণের দৈর্ঘ্য কত সে.মি.?

কোনো ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল নির্ণয়ের সূত্র হলো যদি দুইটি বাহুর দৈর্ঘ্য (a এবং b) এবং তাদের অন্তর্ভুক্ত কোণ (C) জানা থাকে, তাহলে ক্ষেত্রফল = (1/2) * a * b * sin(C)।
এখানে দেওয়া আছে:
প্রথম বাহুর দৈর্ঘ্য (a) = 7 সে.মি.
দ্বিতীয় বাহুর দৈর্ঘ্য (b) = 10 সে.মি.
অন্তর্ভুক্ত কোণ (C) = 60°
আমরা জানি, sin(60°) এর মান হলো √3/2, যা প্রায় 0.8660254 এর সমান।
এখন, আমরা ক্ষেত্রফল নির্ণয় করব:
ক্ষেত্রফল = (1/2) * 7 সে.মি. * 10 সে.মি. * sin(60°)
ক্ষেত্রফল = (1/2) * 70 * (√3/2) বর্গ সে.মি.
ক্ষেত্রফল = 35 * (√3/2) বর্গ সে.মি.
ক্ষেত্রফল = (35√3) / 2 বর্গ সে.মি.
দশমিকে রূপান্তর করলে:
ক্ষেত্রফল ≈ (35 * 1.7320508) / 2 বর্গ সে.মি.
ক্ষেত্রফল ≈ 60.621778 / 2 বর্গ সে.মি.
ক্ষেত্রফল ≈ 30.310889 বর্গ সে.মি.
অতএব, ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল প্রায় 30.31 বর্গ সে.মি.।

এখানে একটি সমকোণী ত্রিভুজের ভূমির দৈর্ঘ্য 6 সে.মি. এবং সমকোণ সংলগ্ন অপর বাহু ভূমির 5/6 অংশ বলা হয়েছে।
ভূমির দৈর্ঘ্য: 6 সে.মি.
উচ্চতা (সমকোণ সংলগ্ন অপর বাহু): (5/6) * 6 সে.মি. = 5 সে.মি.
এখন, সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রফলের সূত্র হলো (1/2) * ভূমি * উচ্চতা।
ক্ষেত্রফল: (1/2) * 6 সে.মি. * 5 সে.মি.
ক্ষেত্রফল: (1/2) * 30 বর্গ সে.মি.
ক্ষেত্রফল: 15 বর্গ সে.মি.
সুতরাং, সঠিক উত্তর হলো 15 বর্গ সে. মি.

সূত্রঃ ট্রাপিজিয়াম এর ক্ষেত্রফল = (সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের মধ্যবর্তী দুরত্ব ÷ 2) × (সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের সমষ্টি )

তাহলে,

40 = (8 ÷ 2) × ( 6 + অজানা বাহু)

40 = 4 × ( 6 + অজানা বাহু)

10 = 6 + অজানা বাহু

অজানা বাহু = 4

গাড়ির চাকার প্রতি মিনিটে ১২০ বার ঘুরার মানে হল এটি প্রতি সেকেন্ডে কতবার ঘুরছে তা বের করতে হবে। ১ মিনিটে ৬০ সেকেন্ড থাকে, তাই:

প্রতি সেকেন্ডে ঘূর্ণন:

১২০ / ৬০ = ২ বার প্রতি সেকেন্ডে

একটি পূর্ণ ঘূর্ণন (১ বার ঘুরলে) ৩৬০°। তাই:

প্রতি সেকেন্ডে° ঘূর্ণন:

২ বার × ৩৬০° = ৭২০°

অতএব, চাকা প্রতি সেকেন্ডে ৭২০° ঘুরবে। ফলে উক্ত উত্তরের সঠিকতা প্রতিষ্ঠিত হয়।

দেয়া আছে, আয়তাকার মাঠের দৈর্ঘ্য ৫০ মিটার

আয়তাকার মাঠের প্রস্থ ৪০ মিটার

মাঠের বাইরে রাস্তার চওড়া ২ মিটার

রাস্তাসহ আয়তাকার মাঠের দৈর্ঘ্য  = ৫০  +  (২*২)মিটার = (৫০  +  ৪)  = ৫৪ মিটার

আমরা জানি, সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = √৩/৪ × (বাহুর দৈর্ঘ্য) ২

এখানে, সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = √৩/৪ × (৮)২

= √৩/৪ × ৬৪ = ১৬ √৩