টপিকঃ ত্রিকোণমিতি
1.
একটি গোলকের ব্যাসার্ধ ৫ সে.মি. হলে এর পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল কত?
গোলকের পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফলের সূত্র হলো A = 4πr²। এখানে, ব্যাসার্ধ (r) = ৫ সে.মি.। সুতরাং, ক্ষেত্রফল = 4 × π × (৫)² = 4 × π × 25 = 100π বর্গ সে.মি.। π ≈ 3.1416 ধরে, ক্ষেত্রফল ≈ 100 × 3.1416 = 314.16 বর্গ সে.মি.,
সবচেয়ে কাছাকাছি উত্তরটি হলো ৩১৪.২৪ বর্গ সে. মি.।
2.
tan 30°. cot 30° = কত?
আমরা জানি, cot θ = 1/tan θ। সুতরাং, tan θ × cot θ = tan θ × (1/tan θ) = 1। তাই, tan 30° × cot 30° = 1
4.
sinθ = 4/5 হলে tanθ = কত?
"আমরা জানি, sinθ = 4/5। একটি সমকোণী ত্রিভুজে, sinθ = লম্ব/অতিভুজ। সুতরাং, লম্ব=4, অতিভুজ=5। ভূমি = √(অতিভুজ² - লম্ব²) = √(5² - 4²) = √(25 - 16) = √9 = 3। এখন, tanθ = লম্ব/ভূমি = 4/3।"
5.
যদি sec²θ + tan²θ = 5/3 হয় তাহলে 3tanθ এর মান কত?
আমরা জানি sec²θ = 1 + tan²θ। সুতরাং, (1+tan²θ) + tan²θ = 5/3 বা 1+2tan²θ = 5/3। 2tan²θ = 5/3 - 1 = 2/3। tan²θ = 1/3। tanθ = 1/√3। অতএব, 3tanθ = 3 * (1/√3) = √3।
6.
একটি আয়তাকার বাক্সের উচ্চতা এর দৈর্ঘ্যের দুই তৃতীয়াংশ । আবার বাক্সটির প্রস্থ এ দৈর্ঘ্যের এক পঞ্চমাংশ । বাক্সটির প্রস্থ ৩ মিটার হলে এর আয়তন কত ঘনমিটার?
দেওয়া আছে, প্রস্থ = ৩ মিটার। প্রশ্নমতে, প্রস্থ = দৈর্ঘ্যের ১/৫। সুতরাং, ৩ = দৈর্ঘ্য / ৫ বা, দৈর্ঘ্য = ১৫ মিটার। আবার, উচ্চতা = দৈর্ঘ্যের ২/৩ = ১৫ এর ২/৩ = ১০ মিটার। অতএব, আয়তন = দৈর্ঘ্য × প্রস্থ × উচ্চতা = ১৫ × ৩ × ১০ = ৪৫০ ঘনমিটার।"
7.
যদি sinθ = 4/5 হয়, তবে cosθ এর বিপরীত পরিমাপ secθ কত হবে?
cos²θ = 1 - sin²θ = 1 - (4/5)² = 1 - 16/25 = (25-16)/25 = 9/25। সুতরাং, cosθ = √(9/25) = 3/5। secθ হলো cosθ এর বিপরীত, অর্থাৎ secθ = 1/cosθ = 1/(3/5) = 5/3।"
8.
সর্বোচ্চ কোন ত্রিকোণমিতিক ফাংশনের মান 1?
"sin এবং cos ফাংশনের সর্বোচ্চ মান 1 এবং সর্বনিম্ন মান -1। tan এবং cot ফাংশনের মান অসীম পর্যন্ত হতে পারে। প্রদত্ত অপশনগুলোর মধ্যে sin এর সর্বোচ্চ মান 1।"
9.
sin 30° + sin² 30° = কত?
"আমরা জানি, sin 30° = 1/2। সুতরাং, sin² 30° = (1/2)² = 1/4। অতএব, sin 30° + sin² 30° = 1/2 + 1/4 = 2/4 + 1/4 = 3/4।"
10.
যদি 1 + tan²θ = 4 এবং θ < 90° হয়, θ = ?
"প্রদত্ত সমীকরণ: 1 + tan²θ = 4। এখান থেকে, tan²θ = 4 - 1 = 3। সুতরাং, tanθ = √3। আমরা জানি, tan 60° = √3। অতএব, θ = 60°।"